Exercício 6 – Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma indústria produz tintas para exterior e interior a partir de duas matérias primas,

M1 e M2. Considere as seguintes informações:

Consumo de Material
Material	Exterior	Interior	Disponível (ton/dia)
M1	6	4	24
M2	1	2	6
Lucro/ton	5 mil	4 mil

Uma pesquisa de mercado indicou que a demanda diária da tinta para interior não excede a da tinta para exterior em mais de 1 ton. Além disso, a demanda diária máxima da tinta para interior é de 2 tons. Elabore um modelo de programação linear para determinar o mix de produtos ótimo, isto é, quanto produzir de cada tipo de tinta de modo a maximizar o lucro total diário. Em seguida, escreva as seguintes restrições para esse problema (independentes):

·      

     

S   SOLUÇÃO:

     Variáveis:

x1: quantidade a ser produzida da tinta para exterior;

x2: quantidade a ser produzida da tinta para interior.

 ·         Restrições

-Referente as restrições de demanda:

x2 – x1 <= 1

x2 <= 2

-Referente às restrições da escassez matéria-prima:

6x1 + 4x2 <= 24

1x1 + 2x2 <= 6

-Referente a não-negatividade

x1 >= 0

x2 >= 0

·         Função Objetivo:

O objetivo do problema é conseguir maximizar o lucro.

5x1 +4x2

·         Programação Linear

Max: 5x1 +4x2

s.a.:  x2 – x1 <= 1

        x2 <= 2

       6x1 + 4x2 <= 24

       1x1 + 2x2 <= 6

       x1 >= 0

       x2 >= 0

·         Restrições referente aos itens independentes:

1. A demanda da tinta para interior excede a de exterior por pelo menos 1 ton.

x2 – x1 >= 1

2. A disponibilidade de M2 é no máximo 6 ton e no mínimo 3 ton.

3 <= x1 + 2x2 >= 6

3. A demanda da tinta para interior não pode ser menor que a demanda da exterior.

x2 >= x1

4. A quantidade mínima total que pode ser produzida das duas tintas é 3 ton.

x1 + x2 >= 3

5. A proporção de tinta para interior em relação à produção total de ambas não pode exceder 0.5.

x1 + x2 >= 0,5x2

Exercício 5 - Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma fabricante de bebidas possui dois centros de produção: um em Ribeirão Preto- SP e outro em Cariacica-RJ. A empresa deseja planejar qual a melhor forma de atender a demanda para a próxima semana, de mercados consumidores em três capitais: São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. O custo unitário de se transportar 1 fardo de bebida de cada centro de produção a cada mercado consumidor é dado na tabela a seguir, juntamente com as demandas de cada mercado e as quantidades disponíveis em cada centro de produção:

Custos (R$/unidade)	SP	BH	RJ	Disponível
Ribeirão Preto	3,70	4,30	6,10	1100
Cariacica	9,80	6,90	2,10	1800
Demanda (unidade)	960	510	895

A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada mercado consumidor, minimizando os gastos totais com transporte.

Solução:

·         Variáveis de Decisão

Para definirmos nossas variáveis de decisão, é importante observarmos primeiramente que não estamos preocupados em uma decisão que afeta um único elemento do nosso problema.

Por exemplo, nos problemas anteriores, cada variável de decisão estava relacionada a um dado produto ou ingrediente e, assim, a um único elemento do problema. Agora, nossa decisão está relacionada a quanto transportar de um ponto (centro de produção) até outro (mercado consumidor). Assim, cada variável de decisão se relaciona com dois elementos distintos do problema, um ponto de origem e outro de destino. Em casos assim, é comum termos dois índices definindo a variável, um para cada elemento, como definido a seguir:

xij : quantidade a ser transportada da origem i até o destino j, com i = 1; 2 e j = 1; 2; 3.

Neste caso i=1 indica Ribeirão Preto enquanto i=2 indica Cariacica e para os índices j=1 refere-se a São Paulo, j=2 Belo Horizonte, e j=3 Rio de Janeiro.

Portanto:

x11: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até São Paulo

x12: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até Belo Horizonte

x13: quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até Rio de Janeiro

x21: quantidade a ser transportada de Cariacica até São Paulo

x22: : quantidade a ser transportada de Cariacica até Belo Horizonte

x23: : quantidade a ser transportada de Cariacica até Rio de Janeiro

·         Restrições:

As restrições nesse problema advêm dos recursos escassos de cada centro de produção. Assim,

x11 + x12 + x13 <= 1100

x21 + x22 + x23 <= 1800

Ademais, cada mercado consumidor exige certa demanda, deste modo temos que garantir que a quantidade a ser transportada para cada consumidor, seja igual a demandada pelo mesmo.

x11 + x21 = 960

x12 + x22 = 510

x13 + x23 = 895

Não-negatividade: x11; x12; x13; x21; x22; x23 >= 0

·         Função Objetivo:

Neste caso a função objetivo do problema é conseguir distribuir a mercadoria com o menor custo possível, assim multiplica-se o custo unitário a quantidade a ser transportada em cada consumidor.

3,7x11 + 9,8x21 + 4,3x12 + 6,9x22 + 6,1x13 + 2,1x23

Obtemos por fim a seguinte Programação linear para o problema:

Mínimo:               3,7x11 + 9,8x21 + 4,3x12 + 6,9x22 + 6,1x13 + 2,1x23

s.a. (sujeito a):      x11 + x12 + x13 <= 1100

                            x21 + x22 + x23 <= 1800

                            x11 + x21 = 960

                            x12 + x22 = 510

                            x13 + x23 = 895

                            x11; x12; x13; x21; x22; x23 >= 0                       

Exercício 4 - Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma indústria alimentícia deseja produzir um novo sabor de barra de cereais. Os requisitos nutricionais exigem que as barras tenham certas quantidades mínimas e máximas de certos nutrientes principais, sendo: no mínimo 22% de fibra e 7% de proteína; e no máximo 55% de carboidrato e 8% de gorduras. Para produzir as barras, a indústria usará como ingredientes, farinha de cereais, mel, soja e banana. As proporções de nutrientes em cada ingrediente, bem como os custos por quilograma de cada ingrediente são apresentados na tabela a seguir:

	Ingredientes
Nutrientes	Cereais	Mel	Soja	Banana	Barra
Fibra	0,26	0,01	0,25	0,10	0,22
Proteína	0,05	0,05	0,26	0,02	0,07
Carboidrato	0,60	0,75	0,45	0,24	0,55
Gorduras	0,07	-	0,01	0,01	0,08
Custos (R$/Kg)	5,20	6,80	7,10	2,50

A indústria deseja determinar em que quantidades os ingredientes devem ser misturados de modo a produzir 1 kg da barra de cereais que satisfaça às restrições nutricionais e tenha custo mínimo.

Solução:

·         Variáveis de Decisão:

x1: quantidade de cereal para 1Kg da mistura

x2: quantidade de mel para 1Kg da mistura

x3: quantidade de soja para 1Kg da mistura

x4: quantidade de banana para 1Kg da mistura

                                       

·         Restrições:

-Restrições quanto às quantidades máximas e mínimas de cada nutriente:

0,26x1 + 0,01x2 + 0,25x3 + 0,10x4 >= 0,22

0,05x1 + 0,05x2 + 0,26x3 + 0,02x4 >=0,07

0,60x1 + 0,75x2 + 0,45x3 + 0,24x4 <=0,55

0,07x1 + 0,01x3 + 0,01x4 <= 0,08

-Restrição quanto a quantidade a ser produzida da mistura:

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

-Restrição quanto a não-negatividade:

x1 >= 0

x2 >= 0

x3 >= 0

x4 >= 0

·         Função Objetivo:

O objetivo do problema é minimizar os custos dos ingredientes, tal que o custo é dado por:

5,20x1 + 6,80x2 + 7,10x3 + 2,50x4

Dessa forma, obtemos a Programação Linear resultante:

Min 5,20x1 + 6,80x2 + 7,10x3 + 2,50x4

s.a. (sujeito a)

0,26x1 + 0,01x2 + 0,25x3 + 0,10x4 >= 0,22

0,05x1 + 0,05x2 + 0,26x3 + 0,02x4 >=0,07

0,60x1 + 0,75x2 + 0,45x3 + 0,24x4 <=0,55

0,07x1 + 0,01x3 + 0,01x4 <= 0,08

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0 

Exercício 3 - Modelagem de Pesquisa Operacional

Uma indústria produz utensílios domésticos feitos de metal. São feitos 3 produtos por meio de 3 operações (estamparia, perfuração e montagem), sendo que cada operação possui um limite máximo de horas disponíveis. A fabricação dos produtos 2 e 3 consome um material que está disponível em quantidades limitadas em estoque. A disponibilidade do material e de horas em cada operação, bem como o quanto cada unidade produzida consome desses recursos são descritos na seguinte tabela:

Taxa de produção (horas por unidade)
Setor	Produto 1	Produto 2	Produto 3	Recuso disponível
Estamparia	0,03	0,15	0,10	400h
Perfuração	0,06	0,12	0,10	400h
Montagem	0,05	0,10	0,12	500h
Material	-	2,0	1,2	2000m²

A indústria fez um levantamento de qual o custo unitário e o preço de venda adequado para cada produto, bem como uma estimativa para o mínimo e máximo de vendas, sendo:
                      

	Produto 1	Produto 2	Produto 3
Preço unitário	10	25	20
Custo Unitário	6	15	14
Mínimo Vendas	1000	-	100
Máximo Vendas	6000	500	1000

Deseja-se determinar quanto fabricar de cada produto, de modo a maximizar o lucro.

Solução:
• Variáveis de Decisão:
x1: quantidade a ser produzida do produto 1
x2: quantidade a ser produzida do produto 2
x3: quantidade a ser produzida do produto 3
• Restrições:
-Restrição quanto as horas disponíveis em cada setor:
0,03x1 + 0,15x2 + 0,10x3 <= 400
0,06x1 + 0,12x2 + 0,10x3 <=400
0,05x1 + 0,10x2 + 0,12x3 <=500

-Restrição quanto a quantidade de material
0,00x1 + 2,0x2 + 1,2x3 <= 2000
Que equivale a:
2,00x2 + 1,2x3 <= 2000

- Restrição quanto as quantidades máximas e mínimas demandadas pelo mercado:
1000 <= x1 <= 6000
0 <= x2 <= 500
100 <= x3 <= 1000

#Nota: Por mais que o mínimo de vendas de x2 não tenha sido definido na tabela anteriormente, por questões de garantir a não-negatividade de vendas do produto, é necessário estabelecer a possibilidade de não haver vendas, por exemplo (x2=0), porém não é possível ter vendas negativas, por exemplo (x2=-10).

• Função Objetivo:
O objetivo do problema é maximizar o lucro, assim:
Devemos subtrair o custo unitário de cada produto do seu preço de venda:
x1: 6 – 10 = 4
x2: 25 – 15 = 10
x3: 20 – 14 = 6
Logo a função objetivo resulta em:
Maximizar
4x1 + 10x2 + 6x3



Dessa forma, obtemos a Programação Linear resultante:

Max 4x1 +10x2 + 6x3
s.a. (sujeito a)
0,03x1 + 0,15x2 + 0,10x3 <= 400
0,06x1 + 0,12x2 + 0,10x3 <=400
0,05x1 + 0,10x2 + 0,12x3 <=500
2,0x2 + 1,2x3 <= 2000
1000 <= x1 <= 6000
0 <= x2 <= 500
100 <= x3 <= 1000